الفصل 13 في الكتاب الرسمي: التعامد في الفضاء
في نهاية هذا الدرس أكون قادرًا على:
- أتعرّف الهرم المنتظم والمخروط الدوراني
- أحسب الارتفاع أو طول حرف ببيتاغور
- أحسب حجم هرم ومخروط
- أحسب مولّد المخروط
أستكشف ثمّ أستنتج
الوضعية
هرم منتظم SABCD قاعدته مربّع ABCD ضلعه 6 م ومركزه O، وارتفاعه SO = 4 م (S الرأس).
ألاحظ
- لماذا المثلّث SOA قائم في O؟
الجواب
(SO) عمودي على مستوي القاعدة، إذن على (OA).
- احسب OA.
الجواب
OA نصف قطر المربّع: 6√2/2 = 3√2.
- احسب الحرف SA.
الجواب
SA² = 16 + 18 = 34، SA = √34 ≈ 5,83 م.
أستنتج
الهرم المنتظم: قاعدته مضلّع منتظم (مربّع، مثلّث متقايس الأضلاع…)، والمستقيم المارّ من الرأس S ومن مركز القاعدة O عمودي على القاعدة: [SO] الارتفاع، وأحرفه الجانبية متقايسة. المخروط الدوراني: قاعدته دائرة مركزها O وشعاعها R، و[SO] ارتفاعه عمودي على القاعدة، والمولّد g = SA حيث A على الدائرة: g² = h² + R².
الحجم (للهرم والمخروط): V = (B × h)/3 حيث B مساحة القاعدة. للمخروط: V = π R² h/3.
1. حساب الأطوال
| الشكل | المثلّث القائم | العلاقة |
|---|---|---|
| هرم قاعدته مربّع | SOA قائم في O | SA² = SO² + OA² |
| مخروط | SOA قائم في O | g² = h² + R² |
| هرم قاعدته مثلّث متقايس الأضلاع | SOA قائم في O (O مركز الثقل) | SA² = SO² + OA² |
2. أحجام
هرم قاعدته مربّع ضلعه 6 وارتفاعه 4: V = 36 × 4/3 = 48 م³. مخروط R = 3 وh = 4: V = π × 9 × 4/3 = 12π ≈ 37,7.
حجم الهرم ثلث حجم الموشور (أو متوازي المستطيلات) الذي له نفس القاعدة ونفس الارتفاع.
أمثلة محلولة
فكّر في كلّ مثال قبل قراءة الحلّ.
الحلّ خطوة بخطوة
- g² = 16 + 9 = 25.
- V = π × 9 × 4/3.
✓ g = 5 صم وV = 12π صم³ ≈ 37,7 صم³.
الحلّ خطوة بخطوة
- OA = 3√2 فـ OA² = 18.
- SO² = 34 − 18 = 16.
- V = 36 × 4/3.
✓ SO = 4 م وV = 48 م³.
انتبه! أخطاء شائعة
ما يجب أن أحفظه
- الهرم المنتظم: قاعدة منتظمة وارتفاع من المركز.
- المخروط: قاعدة دائرية، g² = h² + R².
- V = B × h/3.
- مخروط: V = πR²h/3.
- المثلّث SOA قائم في O.
📚 مصطلحات الدرس
3 مصطلحات من هذا الدرس في القاموس المدرسي: التعريف ومقابله بالفرنسية، ومثال.
اختبر نفسك
4 أسئلة · إصلاح فوري1. حجم هرم قاعدته 30 م² وارتفاعه 5 م:
2. مخروط R = 6، h = 8: المولّد:
3. حجم مخروط R = 3، h = 4:
4. في هرم منتظم المثلّث SOA:
سلسلة تمارين الدرس
كلّ التمارين ←8 تمارين من ثلاثة مستويات، بأسئلة وأعداد جديدة في كلّ محاولة.
- صحيح أم خطأ؟لم يُنجز
- أكمل بالكلمة المناسبةلم يُنجز
- أختار الإجابة الصحيحةلم يُنجز
- أصنّفلم يُنجز
- الهرم المنتظملم يُنجز
- المخروط الدورانيلم يُنجز
- وضعية مشكل 1لم يُنجز
- وضعية مشكل 2لم يُنجز
تدرّب على: الهرم المنتظم والمخروط الدوراني
صحيح أم خطأ، أكمل، اختر، صنّف، ووضعيات: إصلاح فوري مع التعليل.
فهمت الدرس؟ جرّب بنفسك
8 تمارين · التصحيح فورًا · أعداد جديدة في كلّ محاولة
ابدأ التمارين